Могу ли я ездить на машине без страховки и оформления по договору?

Здравствуйте! Можете, но штраф за отсутствие полиса ОСАГО 500 рублей.

2.1. Водитель механического транспортного средства обязан:
2.1.1. Иметь при себе и по требованию сотрудников полиции передавать им, для проверки:
— водительское удостоверение или временное разрешение на право управления транспортным средством соответствующей категории или подкатегории;

— регистрационные документы на данное транспортное средство (кроме мопедов), а при наличии прицепа — и на прицеп (кроме прицепов к мопедам);
(в ред. Постановления Правительства РФ от 22.03.2014 N 221)
— в установленных случаях разрешение на осуществление деятельности по перевозке пассажиров и багажа легковым такси, путевой лист, лицензионную карточку и документы на перевозимый груз, а при перевозке крупногабаритных, тяжеловесных и опасных грузов — документы, предусмотренные правилами перевозки этих грузов;
— страховой полис обязательного страхования гражданской ответственности владельца транспортного средства в случаях, когда обязанность по страхованию своей гражданской ответственности установлена федеральным законом.

2. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе документов на право управления им, страхового полиса обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, за исключением случая, предусмотренного частью 2 статьи 12.37 настоящего Кодекса, а в случаях, предусмотренных законодательством, путевого листа или товарно-транспортных документов, — влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.

Без страховки ОСАГО не можете, а управлять можете и по доверенности или без неё, главное чтобы документы на машину были при Вас и она не числилась в угоне.