Если это внебюджетные средства и расходовать вы их собираетесь по правилам 223-ФЗ, то ответ на вопрос, какие закупочные процедуры вы можете провести, содержится в вашем положении о закупках. Там подходящих процедур, скорее всего, 2: аукцион и запрос котировок. но может быть там есть запрос предложений с небольшим сроком для проведения закупки?
С точки зрения подготовки школы к учебному году, самый действенный вариант, это раздробить ремонт на несколько составляющих: заключить 2(3) договора на ремонт спортзала (один, например, на ремонт пола, второй — покраску стен, отдельно можно приобрести оборудование).
Минус такого способа в том, что это незаконно, т.к. искусственное дробление закупки на части не допускается. Ответственность административная.
Из плюсов — скорее всего, не поймают, т.к. закупка проводится по 223-ФЗ и контролируется меньше, чем по 44-ФЗ.