Добрый день Татьяна!
Согласно ст.37 Семейного кодекса РФ, имущество каждого из супругов может быть признано их совместной собственностью, если будет установлено, что в период брака за счет общего имущества супругов или имущества каждого из супругов либо труда одного из супругов были произведены вложения, значительно увеличивающие стоимость этого имущества (капитальный ремонт, реконструкция, переоборудование и другие).
В связи с чем, в случае, если Ваш супруг в судебном процессе докажет что данные вложения имели место быть, он смело может претендовать на часть недвижимого имущества.
Вместе с тем, в соответствии с ч.3 ст.38 Семейного кодекса РФ, при разделе общего имущества супругов суд по требованию супругов определяет, какое имущество подлежит передаче каждому из супругов. В случае, если одному из супругов передается имущество, стоимость которого превышает причитающуюся ему долю, другому супругу может быть присуждена соответствующая денежная или иная компенсация.
Таким образом, если дом признают совместной собственностью, можно апеллировать к суду с просьбой оставить недвижимость за Вами, а бывшему супругу компенсировать его вложения.
Что касается прописки, в случае признания в данном доме доли бывшего супруга, выписать его будет невозможно, поскольку он будет являться сособственником.