Здравствуйте, Наталья! Вначале нужно установить отцовство: либо добровольно — идете в ЗАГС и подаете совместное заявление, либо в судебном порядке, с любыми доказательствами, не обязательно экспертиза. Если он не отрицает, тем проще, и с момента установления отцовства можете требовать алименты. тот факт, что он не работает, не освобождает его от уплаты алиментов, будет копиться задолженность, может быть обращено взыскание на имущество, может быть привлечен к ответственности и пр.
Экспертиза — в случае необходимости, и расходы будут отнесены не наге, если отцовство признают.
С уважением,
Елена Гурло