Подскажите пожалуйста, нужно ли платить за полный месяц отопления

Оплачивать надо только за тот период, в котором тепло подавалось. Это указано в Постановлении Правительства РФ «О порядке предоставления коммунальных услуг». Однако на практике так и бывает: тепло дают не с начала месяца и перерасчет не делают. Рекомендую обратиться с письменным заявлением в Теплосеть об осуществлении перерасчета за… месяц. Получите ответ и там будет видно, может и сделают перерасчет на основании заявления, т.к. иногда они делают это сами, а иногда  требуют заявления (хотя я считаю, что они должны сами производить правильные расчеты).