Могу ли я изменить фамилию в свидетельстве о рождении?

Здравствуйте. Нужна консультация по семейному спору о ребенке. Мы с матерью ребенка не состояли в зарегистрированном браке. Я указан отцом в свидетельстве о рождении. Ребенку почти 4 года. До возраста ребенка примерно 3 года 4 месяца мы проживали вместе одной семьей. После этого, около 5 месяцев назад, мы расстались и стали жить отдельно. Сейчас мать ребенка уже проживает с другим мужчиной. Ребенок зарегистрирован в Москве, но фактически проживает с матерью в ее квартире в другом месте. При этом значительную часть времени ребенок находится со мной и моей матерью: часто остается у нас с ночевками, примерно 3-4 дня в неделю, практически ежедневно бывает у нас утром и днем так как мать работают. Я и мать (бабушка) водим его на занятия и тренировки, оплачиваем его развитие. Мать на занятия его не водит. Постоянного согласованного графика нет. Мать единолично решает, когда ребенок будет у меня, а когда нет. Также с ее стороны были угрозы ограничить мне доступ к ребенку, в том числе заявления, что они переедут в Москву и я его больше не увижу. Сейчас мать поставила меня перед фактом, что 12 июля везет ребенка в Краснодарский край. Насколько я понимаю, она пробудет там с ним около 3 дней, после чего оставит ребенка почти на 3 недели у своей матери. Ребенок ранее никогда не оставался с бабушкой так надолго без родителей, максимум 4 дня. У ребенка есть сложности с длительной разлукой: он сильно привязан к обоим родителям, часто просит и маму, и папу. Также, по моим сведениям, у бабушки есть проблемы со здоровьем с сердцем. У матери есть отдельное жилье и условия для ребенка. У меня также есть все условия для проживания ребенка. Фактически я постоянно участвую в его жизни, воспитании, занятиях и содержании. Есть доказательства: фотографии, переписки, чеки по занятиям и расходам, свидетели. Прошу проконсультировать: 1. Какие у меня права как у отца в данной ситуации? 2. Могу ли я требовать официального согласованного графика общения/пребывания ребенка со мной? 3. Может ли мать единолично увозить ребенка на длительный срок и оставлять его почти на 3 недели у бабушки без моего согласия? 4. Можно ли до поездки обратиться в опеку или суд, чтобы зафиксировать мою позицию и предотвратить длительное оставление ребенка без родителей? 5. Если спор дойдет до суда, есть ли основания просить определить место жительства ребенка со мной? 6. Какие доказательства лучше собрать сейчас: переписки, чеки, фото, видео, показания свидетелей, подтверждение занятий, фактический график пребывания ребенка у меня? 7. Стоит ли уже сейчас направить матери письменное уведомление/требование о согласовании графика и несогласии с оставлением ребенка на 3 недели у бабушки?