Добрый день! В силу ст. 128 Трудового кодекса РФ (далее — ТК РФ) по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем. Соответственно, получение такого отпуска достижимо только при наличии согласия Вашего работодателя.
Еще один нюанс: согласно ст. 263 ТК РФ работнику, имеющему двух или более детей в возрасте до четырнадцати лет, работнику, имеющему ребенка-инвалида в возрасте до восемнадцати лет, одинокой матери, воспитывающей ребенка в возрасте до четырнадцати лет, отцу, воспитывающему ребенка в возрасте до четырнадцати лет без матери, коллективным договором могут устанавливаться ежегодные дополнительные отпуска без сохранения заработной платы в удобное для них время продолжительностью до 14 календарных дней. Однако, вероятнее всего, коллективный договор в Вашей организации отсутствует (не был заключен между работниками и работодателем).
Таким образом, единственный достижимый в Вашем случае вариант — попытаться договориться с работодателем, ссылаясь на отсутствие мест в детском саду. Информация о том, что ребенок является болезненным, отпугнет работодателя ввиду перспективы частых больничных, поэтому на данное обстоятельство лучше не ссылаться.