Кто платит за свет в старой квартире, зависит от того, на каком праве мама её занимала: по договору социального найма или как собственник. Если квартира муниципальная, а новое жильё дали взамен по договору найма, после сдачи старой квартиры администрации коммунальные услуги по ней до заселения оплачивает администрация (ч. 3 ст. 153 ЖК РФ). Если же мама была собственником, начисления на неё прекратятся после перехода права на аварийную квартиру к городу и регистрации этого перехода.
Вы пишете, что начисления до сих пор идут на маму, хотя она выписалась. Сама выписка их не останавливает, поэтому в заявлении в энергосбыт важно приложить именно документ о передаче старой квартиры администрации и указать показания счётчика на дату передачи. Сначала найдите этот документ и сфотографируйте счётчик с датой. Какой документ маме выдали на новое жильё: договор социального найма или договор мены и выписку о собственности?
Если понадобится разобрать Вашу ситуацию по документам, можете обратиться в чат.