Можно ли как-то решить этот вопрос?

Здравствуйте, Антон. Решить этот вопрос можно только через суд, подав исковое заявление об обязании администрации предоставить вам благоустроенное жилое помещение по договору социального найма во внеочередном порядке.
Районная мэрия использует формальную отговорку про «баланс», чтобы не выделять квартиру, однако по закону уничтожение муниципального дома, в котором вы были официально прописаны, дает вам право на немедленное получение жилья.

Почему позиция чиновников незаконна
Факт сноса дома: Сельсовет разобрал дом, который находился в муниципальной собственности (поскольку вы жили там по договору соцнайма или ордеру). Органы местной власти физически уничтожили объект, нарушив ваше законное право на проживание.
Отказ из-за баланса: Передача имущества от поселкового сельсовета на баланс района — это внутренние бюрократические процедуры чиновников. Их бездействие по надлежащему оформлению документов не может ограничивать ваши жилищные права. Раз вы там прописаны, дом был муниципальным, и отвечать за него обязана местная администрация (как правопреемник сельсовета).
Очередь длиною в 10 лет: Граждане, чье единственное муниципальное жилье стало непригодным для проживания (или было снесено), должны обеспечиваться жильем вне очереди. Нахождение в общей очереди в течение 10 лет — прямое нарушение Жилищного кодекса.

Пошаговый план решения проблемы
Соберите доказательства: Возьмите выписку из финансово-лицевого счета или справку о регистрации (паспортный стол), подтверждающую вашу постоянную прописку по адресу снесенного дома.
Сохраните письменный отказ районной мэрии, где они ссылаются на отсутствие дома на балансе. Это ваше главное доказательство их незаконной позиции.
Получите в БТИ или Росреестре справку о состоянии объекта (что дом физически ликвидирован/снят с учета).

Обратитесь в прокуратуру города Сортавала:
Напишите жалобу на неправомерные действия районной администрации. Опишите, что муниципальное жилье снесено властями, альтернативное жилье не предоставлено, а чиновники отказываются решать вопрос под предлогом отсутствия баланса. Прокуратура проведет проверку и может сама обратиться в суд в ваших интересах.
Подайте иск в суд:
Если прокуратура предложит вам судиться самостоятельно, подавайте исковое заявление в городской суд. В иске требуйте: Признать незаконным бездействие администрации района по непредоставлению жилья.
Обязать администрацию предоставить вам равнозначное благоустроенное жилое помещение по договору социального найма в черте города Сортавала (или района) вне очереди.

Судебная практика по таким делам полностью на стороне граждан: если муниципальный дом снесен, администрация обязана выдать квартиру, независимо от того, на каком балансе он стоял.

Антон, здравствуйте! Дополню коллегу двумя моментами, которые важны, чтобы не потерять время на неверного ответчика и неверное требование.

   1. Где положено жилье. Если Вы занимали квартиру в муниципальном доме по договору социального найма и дом стал непригодным или снесен, наймодатель обязан предоставить другое благоустроенное жилое помещение по договору социального найма (ст. 85, 87 ЖК РФ). Оно должно быть равнозначным по общей площади и находиться в границах того же населенного пункта, а в другом населенном пункте только с Вашего письменного согласия (ст. 89 ЖК РФ). То есть основное требование касается жилья в поселке. Получить квартиру в городе можно, если орган местного самоуправления согласится предоставить ее там, но обязать его к этому через суд сложнее.

   2. Кто ответчик. Отказ района со ссылкой на то, что дом не передавался ему на баланс, указывает, что собственником дома осталось поселение (или его правопреемник, если муниципальное образование преобразовывали). Именно собственник жилья и является наймодателем. Запросите выписку из реестра муниципального имущества поселения и из ЕГРН по дому, а также документы о разборе дома: распоряжение, акт, решение комиссии. Это ключевые доказательства того, что жилье утрачено не по Вашей вине.

   3. Что подтвердить со своей стороны: право пользования (ордер, договор найма или выписка из домовой книги о регистрации, квитанции за наем), состав семьи. Затем письменное заявление собственнику о предоставлении жилья по ст. 87, 89 ЖК РФ, а при отказе или молчании иск в суд по месту нахождения дома. Нахождение в очереди не мешает этому требованию: предоставление жилья взамен утраченного не зависит от общей очереди.

Если будет удобно, в личном чате здесь, на Правоведе, могу подготовить заявление собственнику дома с запросом документов о сносе и требованием предоставить жилье: стоимость 3 000 руб., срок 1 рабочий день.

С уважением,
Лучников Константин,
юрист, партнер адвокатского бюро