Кристина, здравствуйте. Новые отношения сами по себе не отменяют отцовство и права ребёнка. Убирать запись об отце по требованию его матери Вы не обязаны: оспаривание возможно только через суд по статье 52 Семейного кодекса.
Сам статус бабушки не даёт ей права предъявлять такой иск, пока отец жив. Пропажа без вести не равна смерти. Если он умер или объявлен умершим судом, у наследника есть специальное право оспаривания, но нужны предусмотренные законом основания, например подложные документы или отсутствие свободного волеизъявления при установлении отцовства. Одного отсутствия биологического родства недостаточно для такого требования наследника.
Сохраните переписку и другие доказательства, что он знал об отсутствии биологического родства и добровольно признал ребёнка. По пункту 2 статьи 52 его собственный иск об оспаривании по этому основанию не подлежит удовлетворению, если при записи он это знал. Не подписывайте заявления об изменении записи только под давлением. Если получите иск, нужны письменные возражения и эти доказательства. Расходы на ДНК не становятся Вашим долгом по одному заявлению бабушки: вопрос решает суд.
По пункту 2 статьи 60 Семейного кодекса детские пособия и пенсии расходуются на содержание, воспитание и образование ребёнка. Отчитываться перед бабушкой только потому, что она бабушка, обязанности нет. Но основание получения именно денежного довольствия нужно отдельно проверить по решению о назначении: сохранение записи об отце не подтверждает автоматически право на любую выплату.
Есть ли решение суда об объявлении его умершим или он числится пропавшим? Какие выплаты назначены ребёнку, а какие перечисляются лично Вам? Если сочтёте нужным, могу отдельно платно проверить документы о выплатах и подготовить позицию на случай иска. Стоимость согласуем до начала работы в личном чате.