Здравствуйте! Нет, ваша мать, даже являясь сотрудником ФСБ, не вправе запрещать вам выезд за границу или получение иностранного гражданства.
Согласно статье 27 Конституции РФ и статье 2 Федерального закона № 114-ФЗ, гражданин России имеет право свободно выезжать за пределы страны. Ограничения допускаются только по основаниям, установленным статьёй 15 указанного закона. Само по себе родство с сотрудником ФСБ таким основанием не является.
Внутриведомственные рекомендации ФСБ относительно зарубежных поездок родственников сотрудников не имеют силы федерального закона и не могут ограничивать ваши права.
Вы вправе переехать в Хорватию и оформить её гражданство при соблюдении хорватского законодательства. При приобретении иностранного гражданства необходимо выполнить установленные российским законодательством обязанности по уведомлению МВД.
Однако ваше проживание за границей и получение иностранного гражданства могут учитываться при проверке допуска матери к государственной тайне, хотя автоматического увольнения или лишения допуска закон не предусматривает.
Таким образом, законных оснований запрещать вам выезд только из-за работы матери в ФСБ нет. Если в отношении вас официально установят ограничение на выезд, такое решение можно обжаловать.