Здравствуйте, Курстанбек!
Само по себе отчество ребёнка, образованное от вашего имени, не подтверждает юридическое отцовство. Если в актовой записи о рождении сведения об отце отсутствуют либо внесены только со слов матери, отцовство не считается установленным. Это следует из статьи 51 Семейного кодекса РФ. Попросите ЗАГС, где зарегистрировано рождение, выдать документ или выписку, подтверждающую, какие сведения об отце внесены и на каком основании.
Важно, какое гражданство у ребёнка и кто именно пересекает границу. Статья 20 закона № 114-ФЗ регулирует выезд из России несовершеннолетних граждан РФ. Если ребёнок — гражданин России и едет с бабушкой, нужно нотариально оформленное согласие одного законного представителя с указанием срока и государства поездки. Обычная доверенность может не отвечать этим требованиям. Если юридически вы не записаны отцом и отцовство не установлено, согласие именно от вас требовать не должны; законным представителем в таком случае является мать.
Если ребёнок не гражданин РФ, статья 20 к нему напрямую не применяется. Могут иметь значение правила Кыргызстана, страны назначения и перевозчика. Попросите пограничников назвать конкретное основание требования и, если отказывают в пропуске, выдать письменное решение. На границе можно пояснить, что отцовство не установлено, и предъявить документ ЗАГСа, подтверждающий запись.
Уточните, пожалуйста, гражданство ребёнка и кто сейчас едет с ним — мать или бабушка? Если хотите, разберём документы и маршрут в личном платном чате. Если платную консультацию не планируете, буду благодарен за благодарность в профиле, если ответ оказался полезен.