Да, вы можете получить свидетельство о рождении ребенка самостоятельно, так как брак официально зарегистрирован.
Запись отца: Поскольку брак между вами зарегистрирован, по закону (п. 2 ст. 48 СК РФ) мужа автоматически признают отцом ребенка. Личное присутствие мужа или его отдельное согласие для этого не требуются — сведения об отце вносятся на основании свидетельства о браке по заявлению любого из родителей (ст. 51 СК РФ, ст. 17 ФЗ № 143-ФЗ).
При разных фамилиях родителей фамилия ребенка определяется по соглашению родителей (ст. 18 ФЗ № 143-ФЗ). Если согласия нет или муж недоступен, вы можете обратиться в орган опеки и попечительства, чтобы ребенку присвоили вашу фамилию.
Вы имеете полное право оставить свою фамилию, это никак не препятствует оформлению документов на ребенка.
Если ответ был полезен, просьба поставить плюс.