Здравствуйте.
Статья 20 Федерального закона от 15.08.1996 № 114-ФЗ сейчас сформулирована однозначно:
ребёнок может выехать из РФ с одним законным представителем, если другим не подано заявление о несогласии.
Мать может воспользоваться ст. 21 Закона № 114-ФЗ и заранее подать заявление о несогласии на выезд, причем в заявлении она вправе определить срок действия ограничения и государство (государства), которых оно касается.
Формально пересечь границу можно, но этим не снимается Ваш потенциальный спор относительно длительного проживания детей за рубежом.
Нужно учитывать, что поездка на 6 месяцев уже может повлечь спор не только о пересечении границы, но и о фактическом месте проживания детей. Родители имеют равные права, а при разногласиях вопрос о месте жительства детей разрешается исходя из их интересов в порядке п. 3 ст. 65 СК РФ.
Таким образом обратиться в органы она может.