Здравствуйте, Олег.
Да, можете. Подача заявления по месту временной регистрации прямо предусмотрена Административным регламентом Росгвардии (утв. приказом от 27.09.2018 № 397). Постоянная регистрация в другом регионе этому не препятствует.
Срок рассмотрения — до 30 календарных дней с даты регистрации заявления. Он един для всех, независимо от того, подаёте вы заявление по месту жительства или по месту пребывания. Запросы в другие регионы для проверки — внутренняя процедура Росгвардии, она не продлевает установленный законом срок. Если срок нарушат, это основание для жалобы.
Удобнее всего подать заявление через портал Госуслуг — так фиксируется дата обращения и сразу присваивается трек-номер.
Если консультация оказалась полезной, пожалуйста, отметьте её «+» ниже. При возможности оставьте отзыв — это поможет другим пользователям находить качественные ответы. Благодарю Вас.