Здравствуйте.
Обязательный минимум - права нужной категории у зятя, СТС на машину и полис ОСАГО, где он либо вписан, либо полис без ограничения списка водителей. Это прямо из п. 2.1.1 ПДД РФ.
Ключевой момент, который часто упускают: раз машина в этот момент едет без Вас как собственника, инспектор вправе спросить документ, подтверждающий право пользования - именно это правило указано в том же п. 2.1.1. На практике, если зять вписан в ОСАГО, этого обычно достаточно и без записи в полисе гаишник может законно придраться. Доверенность на управление сейчас формально не обязательна как единый документ, но при вписанном в страховку водителе вопрос закрывается автоматом - это и есть самый надёжный вариант, без бумажной волокиты.
Отдельный нюанс - если права зятя оформлены давно, могли автоматом продлиться, и это не всегда сразу видно по пластику, тут тоже есть подводные моменты, которые лучше проверить заранее, чтобы не попасть на пустом месте.
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.