Дарья, добрый день!
Сам факт установленного отцовства даёт отцу родительские права, но это не означает, что он может просто забрать ребёнка у матери.
Согласно ст. 65 СК РФ:
«Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей».
При отсутствии соглашения спор решается судом, исходя из интересов ребёнка.
Отец вправе общаться с ребёнком и участвовать в его воспитании. Согласно ст. 66 СК РФ:
«Родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет права на общение с ребенком, участие в его воспитании…»
Но для того, чтобы ребёнок проживал с ним, ему нужно обращаться в суд.
Что касается выезда в Казахстан, если ребёнок гражданин РФ и находится в России, Вы вправе подать заявление о несогласии на выезд ребёнка из РФ.
Т.е. отец может обратиться в суд, но просто отобрать ребёнка он не вправе. Чтобы снизить риск вывоза ребёнка в Казахстан, Вы можете подать заявление о несогласии на выезд ребёнка из РФ. А если есть угрозы, лучше также определить место жительства ребёнка с Вами через суд.
Если мой ответ был Вам полезен, буду признательна за его оценку.