Здравствуйте! В вашей ситуации всё решается не браком, а тем, установлено ли отцовство официально через ЗАГС, поэтому разберу по сути.
Если вы не состоите в браке, запись об отце в свидетельстве о рождении возможна тремя способами. Первый — совместное заявление матери и отца в ЗАГСе об установлении отцовства, тогда отец будет вписан официально, и ребёнку можно дать его фамилию. Второй — если такого заявления нет, то сведения об отце могут быть внесены со слов матери, но это формальная запись: юридически отцовство не считается установленным. Третий вариант — через суд, но это уже если есть спор. Удочерение (усыновление) здесь вообще ни при чём, это отдельная процедура.
Что касается пособий. Ключевой момент — не фамилия ребёнка, а именно факт установленного отцовства. Если отец официально признал ребёнка через ЗАГС, вы не будете считаться матерью-одиночкой, даже если у ребёнка ваша фамилия. И наоборот, если отцовство не установлено (даже если отец записан «со слов»), тогда вы можете оформить выплаты как мать-одиночка. То есть фамилия роли не играет.
По поездкам по России: никакого разрешения отца не требуется, независимо от того, в браке вы или нет. Если вы мать, и это подтверждено свидетельством о рождении, вы свободно перемещаетесь с ребёнком по территории РФ. Согласие второго родителя требуется только при выезде за границу и то не всегда, а в отдельных случаях.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!
Нет, без совместного заявления об установлении отцовства или решения суда записать фамилию и отчество отца со слов матери нельзя, так как при отсутствии брака в графе «отец» ставится прочерк либо данные вносятся исключительно по заявлению матери только в виде имени и отчества с присвоением ребенку фамилии матери, а полноценная запись ФИО отца возможна лишь при юридическом оформлении отцовства.