Здравствуйте!
Коротко — да, можно и нужно подать письменное заявление, которое зафиксирует Вашу инициативу и создаст юридически значимый документ.
Насколько я понял, Вам 38 лет, Вы фактически относитесь к категории запасников (возраст за пределами призывного), у Вас нет документа воинского учёта, Вы живёте не по месту прописки и добросовестно пытаетесь встать на учёт, однако военкомат по месту временной регистрации каждый раз отвечает «личное дело не пришло» и ничего не предпринимает.
Что лучше сделать:
1. Подайте письменное заявление в военкомат по месту временной регистрации
Передайте лично под отметку о приемке или Почтой России ценным письмом с описью вложения и уведомлением о вручении по адресу военкомата, тогда дата отправки, состав вложения и дата получения зафиксированы Почтой России.
В заявлении укажите:
ФИО, дату рождения, адрес временной регистрации;
что Вы проживаете на территории данного военкомата с такой-то даты, имеете временную регистрацию;
что дважды являлись лично (укажите примерные даты), однако на воинский учёт не поставлены, документ воинского учёта не выдан;
просите поставить Вас на воинский учёт по месту пребывания и выдать справку взамен военного билета;
что просите сделать запрос о передаче личного дела из военкомата по месту регистрации (указать адрес прописки и название военкомата) и уведомить Вас о результатах в установленный срок.
Если после получения заявления военкомат снова ничего не предпримет в течение 30 дней, направьте жалобу в военную прокуратуру по месту нахождения военкомата. В жалобе укажите: дату подачи заявления, факт его получения, отсутствие ответа и нарушение Ваших прав. Это даст прокуратуре основание для проверки и понуждения военкомата к действию.