И как я могу узнать о положении отца находясь в Белорусии?

Здравствуйте.

Здесь важны два отдельных вопроса: безопасность документов и то, как узнать об отце.

 Отправлять ли свидетельство о рождении?
Нет, оригинал отправлять не стоит. Свидетельство о рождении — важный юридический документ. Ваш отец намеренно отправил документы вам, а не своей маме — вероятно, он хотел, чтобы именно вы ими распоряжались.

Если бабушке действительно нужен этот документ для каких-то юридических нужд (например, для оформления выплат или статуса родственника военнослужащего), есть безопасные альтернативы:

Нотариально заверенная копия — вы можете заверить копию у нотариуса в Беларуси и отправить её. Такая копия принимается для большинства официальных целей.
Электронная «телепортация» через консульство — с 2024 года граждане РФ, находящиеся за рубежом, могут обратиться в российское консульство, чтобы перевести документ в электронный формат с сохранением юридической силы и передать его в Россию. Это официальный и безопасный способ.
Запросить дубликат в России — бабушка может самостоятельно обратиться в ЗАГС, чтобы получить повторное свидетельство о рождении отца (не ваше). Это стандартная услуга.
 Как узнать о положении отца из Беларуси
Вот последовательность действий — от простого к официальному:

Свяжитесь с сослуживцами и их родственниками. Если знаете позывной, номер части или имена сослуживцев — ищите тематические чаты в Telegram или ВКонтакте по номеру части. Там часто есть неофициальная, но актуальная информация.
Горячая линия Министерства обороны РФ — можно звонить из Беларуси:

8 (800) 100-77-07 (бесплатно из России, из Беларуси — как международный)
+7 (495) 498-43-54
+7 (495) 498-34-46
Фонд «Защитники Отечества» — государственный фонд помощи ветеранам и их семьям, принимает запросы о статусе военнослужащих. Можно обратиться онлайн через их сайт.
Военкомат по месту регистрации отца — туда можно написать официальное заявление о предоставлении информации о военнослужащем. Они делают запрос в воинскую часть и обязаны ответить. Обращение можно направить почтой или через доверенное лицо в России.
Международный Комитет Красного Креста (МККК) — если связи нет долго и есть опасения о пленении, МККК принимает анкеты на розыск. Это единственный легальный канал, через который может прийти информация, если человек находится в плену.
 
Важно: информацию о номере части, позывном и местоположении нельзя публиковать в открытых источниках — только передавать лично в официальные инстанции (военкомат, МО, Фонд «Защитники Отечества»).

Буду признательна за положительный отзыв.