Здравствуйте!
Да, в вашей ситуации всё вполне можно оформить через МФЦ. Замена паспорта по достижении 20 лет производится на основании Положения о паспорте гражданина РФ, и сейчас на подачу документов даётся 90 дней со дня рождения, поэтому главное уложиться в этот срок.
Через МФЦ вы можете подать заявление на замену паспорта, принести фотографии и необходимые документы. Что касается регистрации по месту жительства, её тоже можно оформить там же. Обычно это делают либо одновременно, либо сначала подают документы на регистрацию, а затем уже на новый паспорт — сотрудники МФЦ подскажут порядок на месте, это стандартная процедура.
То, что у вас раньше не было регистрации, само по себе не мешает заменить паспорт. Главное сейчас оформить прописку, если появилась такая возможность. В большинстве случаев всё решается спокойно, без каких-то серьёзных сложностей.
Не переживайте, подобные ситуации встречаются довольно часто, и через МФЦ такие вопросы обычно решаются достаточно удобно.
С наилучшими пожеланиями, Хабас Феликсович.