Можно ли подать исковое заявление в суд общей юрисдикции по основаниям и предмету, которые были указаны во встречном иске по гражданскому делу, где я была ответчиком?

Для получения консультации по конкретному случаю рекомендуется обратиться к ко мне.
Да, возможно повторно подать исковое заявление к тому же ответчику о том же предмете и по тем же основаниям, если суд вернул иск из-за нарушений, например, если не соблюдены условия предъявления встречного иска. 
Согласно ч. 3 ст. 135 ГПК РФ, если истец согласен с решением судьи и может устранить нарушения, он может повторно подать иск. 
Встречный иск подают, если у ответчика есть встречные требования к истцу, и он вправе сделать это в рамках рассмотрения того же судебного спора. При этом встречный иск должен соответствовать определённым условиям (ст. 138 ГПК РФ):
встречное требование направлено к зачету первоначального требования;
удовлетворение встречного иска исключает полностью или в части удовлетворение первоначального иска;
между встречным и первоначальным исками имеется взаимная связь, и их совместное рассмотрение приведёт к более быстрому и правильному рассмотрению споров.