Можно ли их как-то выгнать, если у меня нет прав и договоренности были не со мной?

Ситуация сложная, но юридически вы имеете гораздо больше прав, чем думаете. В муниципальной квартире нет «собственника» — собственником является город (муниципалитет). Ваша мать, вы и ваши дети — все вы являетесь нанимателями (или членами семьи нанимателя) с абсолютно равными правами и обязанностями.

1. Ваши права в квартире
Вы не на «птичьих правах». Если вы там прописаны, вы имеете полное право пользоваться этой квартирой, входить в неё и проживать там. Ваше согласие на сдачу квартиры в поднаем было обязательным согласно ст. 76 ЖК РФ. Раз вы его не давали — проживание посторонних лиц незаконно.

2. Как выселить квартирантов
Поскольку договора с вами нет, а мать (основной наниматель) отсутствует, эти люди находятся там без законных оснований.

Вызывайте полицию: Приезжайте к дому, вызывайте наряд. Предъявите паспорт с пропиской и заявите, что в вашей квартире находятся посторонние люди, которые проникли туда в ваше отсутствие.
Вскрытие замков: Как прописанное лицо, вы имеете право вызвать службу вскрытия замков (предоставив паспорт с пропиской) и поменять личинки. Квартиранты в этом случае не имеют права препятствовать.
Важно: Не забирайте и не выбрасывайте их вещи, чтобы не получить обвинение в краже. Дайте им время собрать имущество в присутствии полиции.
3. Проблема долгов и ФССП
По муниципальному жилью все совершеннолетние прописанные несут солидарную ответственность (ст. 69 ЖК РФ). Это значит, что долги могут взыскать с любого — и скорее всего выберут вас, так как вы официально работаете или имеете счета.

Раздел счетов: Вы можете обратиться в МФЦ или ЕРЦ с заявлением о разделении платежных документов. Тогда вам будут приходить счета только за вашу долю и долю детей, а долги матери останутся на ней. Но это работает только на будущие платежи.
Признание матери безвестно отсутствующей: Поскольку она пропала, вам нужно подать заявление в полицию о розыске (если еще не подали). Если через год она не найдется, вы сможете через суд признать её безвестно отсутствующей. Это позволит переоформить договор соцнайма на себя и стать основным нанимателем.
4. Что делать сейчас (Алгоритм)
Подайте заявление в полицию о пропаже матери (получите талон-уведомление).
Приезжайте в квартиру с участковым или нарядом ППС. Требуйте от жильцов документы, на основании которых они там находятся. Если договора нет (или он не согласован с вами/городом) — требуйте их выселения.
Смените замки. Теперь это ваше жилье, которое вы можете использовать, чтобы не платить за ипотеку или просто чтобы контролировать долги.
Обратитесь в Управляющую компанию. Уведомьте их, что основной наниматель пропал, и вы готовы гасить свою часть текущих платежей, чтобы квартиру не расслужебничали за долги.
С уважением, Ситдиков Фанзиль Альбертович.