Добрый день, Екатерина!
Да, шансы есть.
В соответствии со ст. 49 Семейного кодекса РФ
В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.
Подавайте в суд исковое заявление об установлении отцовства и взыскании алиментов, ссылайтесь на свидетельские показания. Возможно сохранились квитанции о переводах от него или т.п. При этом в заявлении укажите последний известный вам адрес проживания данного человека.