Может ли мобилизованный, подписать контракт не в той части в которую призывался, а в другой, на руках есть готовое отношение, и как правильно это сделать?

Здравствуйте. Да, мобилизованный может перевестись в другую воинскую часть и заключить там контракт, имея на руках так называемое «отношение». Это отношение (документ, подтверждающий заинтересованность другой части в военнослужащем) является ключевым для запуска процедуры перевода. 
Однако наличие отношения не гарантирует перевод автоматически: окончательное решение принимает текущее командование, исходя из служебной необходимости и боеготовности подразделения. 

Процесс перевода состоит из нескольких этапов и требует официального оформления через текущую воинскую часть мобилизованного:
1. Написать рапорт в текущей части. В рапорте указать причину желания перевестись и  указать, что  желаете заключить новый контракт в той части.    Приложить оригинал (или заверенную отношения)
2. Пройти медкомиссию и сдать нормативы (если требуется)
3. Согласование и приказ о переводе:
Командир текущей части рассматривает рапорт. Он имеет право отказать в переводе в условиях мобилизации по служебной необходимости, но чаще всего при наличии «отношения» перевод одобряют.
После одобрения издается приказ о перемещении военнослужащего в новую часть. 

Если ответ был полезен, буду благодарна за оценку консультации

Да, мобилизованный имеет право на такой перевод для заключения контракта, но строго в установленном порядке.

Порядок действий (кратко):

Получить официальное «отношение» (рапорт о переводе) от командира желаемой воинской части, готовой принять вас на службу по контракту. У вас оно уже есть.
Подать рапорт по команде своему текущему командиру (в часть, где вы служите по мобилизации) с просьбой о направлении для заключения контракта в другую часть, приложив полученное отношение.
Дождаться издания приказа о переводе вышестоящим командованием (командующим округом, начальником главного управления кадров МО РФ). Без этого приказа самовольная смена части невозможна и является нарушением (дезертирством).
Ключевая норма: Перевод военнослужащего, в том числе мобилизованного, из одной части в другую осуществляется только по решению вышестоящего командования на основании рапортов и служебных отношений (ст. 47 Федерального закона «О воинской обязанности и военной службе», Указ Президента РФ №1237). Наличие «отношения» от принимающей части — важное, но не единственное условие. Решение принимает ваше прямое начальство, направляя документы на рассмотрение в вышестоящий штаб.