Могу ли я уволиться со службы по контракту с болезнью "Экзема" Кистей рук, которая появляется каждый квартал

Здравствуйте,
уволиться «по болезни» можно только по заключению ВВК. По экземе это обычно ст. 62 Расписания болезней. Если ВВК поставит категорию «Д» (негоден) — увольнение обязательно; если «В» (ограниченно годен) — для контрактников на должностях до старшины включительно это тоже основание для увольнения (если сами не хотите продолжать службу). 

Как экзема оценивается на ВВК

Ст. 62 п. «б»: ограниченная часто рецидивирующая экзема (подтверждённые обострения ≥2 раз в год за последние 3 года) → категория «В» (ограниченно годен) для рядового/сержантского состава.  
Ст. 62 п. «в»: ограниченные и редко рецидивирующие формы → чаще «В»/«Б» (зависит от графы).  
Ст. 63: обострение сейчас → «Г» (временно не годен) — лечение и переосвидетельствование.  

Вы пишете, что обострения «каждый квартал» — это формально «часто рецидивирующая» форма. Но ключ — документирование рецидивов за 3 года (обращения к врачу, записи, назначения, фото с датами). Без этого ВВК часто ставит «Г».

На каком основании увольняют

Кат. «Д» — по пп. «в» ст. 51 ФЗ № 53-ФЗ (увольнение по состоянию здоровья как негодного).
Кат. «В» — по пп. «г» ст. 51 ФЗ № 53-ФЗ для контрактников на должностях до старшины/главного корабельного старшины (если не изъявили желание продолжать на разрешённых должностях).  

Что делать пошагово

Рапорт командиру: прошу направить на ВВК по состоянию здоровья (экзема кистей с частыми рецидивами), до заключения ВВК к ЛБС не привлекать.
Соберите доказательства частоты: выписки за 3 года, записи дерматолога, назначения, учетные формы, фото/видео обострений с датами.
На ВВК: просите применить ст. 62 (указать п. «б» при наличии подтверждённых частых рецидивов). Если сейчас обострение — зафиксировать и направить по ст. 63 («Г») на лечение с последующим пересмотром.  
Если вывод «В» или «Д» — подайте рапорт об увольнении по состоянию здоровья по ст. 51 ФЗ № 53-ФЗ. При «В» вы вправе не продолжать службу.  
Если не направляют на ВВК/не учитывают документы — жалоба по команде и в военную прокуратуру (кратко: не обеспечивается медобследование, нарушен Порядок ВВЭ по ПП № 565).  

Буду рада плюсу, для меня это важно 

с уважением,