Если идет экспертиза, то дело у вас приостановлено по п. 3 ч. 1 ст. 208 УПК РФ, следовательно на этом промежутке времени какие-либо вопросы разрешаться не будут, пока дело не возобновится.
Он может обратиться письменно в военкомат, сообщив о том, что он желает заключить контракт. А также непосредственно обратиться к судье с письменный ходатайством о желании заключить контракт и просьбой не препятствовать в его заключении. Но, вероятно, данное ходатайство будет рассмотрено уже после проведения экспертизы.
Подсудимому необходимо обратиться к своему адвокату, который должен подсказать как лучше поступить в данной ситуации.
Даже в этом случае, что вы описали, вопрос о подписании контракта до результатов экспертизы не разрешится. И если от военкомата будет разрешение на подписание контракта, оно будет не законным, поскольку в любом случае при подписании контракта оценивается психическое здоровье + уже идет экспертное исследование состояния психического здоровья.