И можно ли в такой кухне использовать натяжной потолок?

Отсутствие двери именно в кухне с газовым котлом не является нарушением. Согласно действующим нормам, дверь в кухню с газовым оборудованием не является обязательной, если обеспечена вентиляция и безопасность, но в практике газовщики часто требуют её для предотвращения распространения газа или дыма. Это требование унаследовано от устаревших СНиП, таких как СНиП 2.04.08-87 (п. 6.29–6.30), где рекомендовалось отделять кухню перегородкой или дверью от жилых помещений для пожарной безопасности. Однако с 2011 года и в актуальном СП 62.13330.2011 «Газораспределительные системы» (актуализированная редакция СНиП 42-01-2002) прямого обязательного требования к двери нет.

Можно ли использовать натяжной потолок в такой кухне?

Да, натяжной потолок в кухне с газовым котлом можно использовать, но с соблюдением норм по пожарной безопасности и монтажу. ПВХ-полотна. Главное  не перекрывать вентиляционные шахты и дымоход котла, оставить расстояние от трубы до полотна не менее 8–20 см (в зависимости от нагрева), и использовать термокаркас для изоляции.

Согласно СП 4.13130.2013 «Системы противопожарной защиты» (актуализированная редакция СНиП 2.04.08-87), отделка в помещениях с газовым оборудованием должна быть из негорючих или трудногорючих материалов (группа Г1–Г2), а ПВХ-полотна с сертификатами соответствуют этому (не поддерживают горение). В СП 62.13330.2011 подчёркивается, что потолок не должен мешать вентиляции и доступу к оборудованию. Если котёл нагревает трубу сильно, то это также не допустимо. В остальном запретов нет.

5.21 Вентиляцию помещения, предназначенного для установки газоиспользующего оборудования, следует выполнять в соответствии с 5.9.

Вентиляция помещений, предназначенных для установки бытового газоиспользующего оборудования, должна быть естественной.

Параметры воздуха в помещениях следует принимать согласно СП 60.13330.

Дверь из помещения, где установлено бытовое газоиспользующее оборудование, должна открываться наружу.

Обязательное наличие двери не указано, но в СП указано, что если она есть, то должна открываться наружу. 

СП 42-101-2003  регулирует требования к помещениям для установки отопительного газоиспользующего оборудования, но упоминаний о двери в нём нет. 

Например, Помещения, предназначенные для установки газоиспользующего оборудования,
должны отвечать требованиям СНиП 42-01 и других нормативных документов.

имеется в виду «СП 62.13330.2011», в нем тоже не указано, что дверь обязательна. 

Но в отдельных муниципальных образованиях могут быть ограничения на устройство проёмов без двери — отсутствие двери может быть только по согласованию с проектной организацией или автором проекта жилого дома. То есть в администрации могут не согласовать перепланировку.