С какого момента считается в данном случае срок лишения права управления ТС?

Разберём вашу ситуацию по пунктам.

 
1. С какого момента идёт срок лишения?
По ч. 1 ст. 32.7 КоАП РФ:

Срок лишения права управления начинается со дня сдачи водительского удостоверения в ГИБДД либо подачи заявления о его утрате.
Если удостоверение не было сдано добровольно, срок не идёт.
В вашем случае:

Постановление суда вступило в силу 01.08.2024.
Но вы фактически сдали В/У 10.10.2024 — именно с этой даты и начинает течь срок лишения.
То, что в базе ГИБДД стоит только дата вступления в силу, не меняет сути — при возврате прав они ориентируются на дату фактической сдачи.
Судебная практика и разъяснения Верховного суда (п. 3 Постановления Пленума ВС РФ № 20 от 24.10.2006): срок идёт с момента реального изъятия или добровольной сдачи В/У.

 
2. Можно ли сдать экзамен заранее и будет ли он действителен?
Согласно п. 4.1 Приказа МВД № 365 от 20.10.2015:

Пересдачу теоретического экзамена можно пройти не ранее, чем за 30 дней до окончания срока лишения.
Результаты пересдачи действуют 6 месяцев.
То есть, если вы сдадите сейчас, а до конца лишения более 6 месяцев, результат просто «сгорит», и пересдавать придётся заново.

 
3. Что делать, чтобы не потерять время
Вычислите дату окончания лишения: 10.10.2024 + срок лишения по постановлению.
За месяц до этой даты запишитесь в ГИБДД на пересдачу теории.
Если хотите ускорить возврат прав — можно подать в суд ходатайство о зачёте времени с 01.08.2024, но шанс минимальный, так как вы не сдали В/У вовремя (ст. 32.7 КоАП).
 
Вывод:

Срок лишения считается с 10 октября 2024.
Экзамен можно сдать только за месяц до окончания срока, и его результат действует полгода. Сейчас пересдавать смысла нет.
Чтобы избежать подобных ситуаций, права всегда нужно сдавать в ГИБДД сразу после получения постановления.
 
Если хотите, я могу подготовить для вас образец запроса в ГИБДД с требованием указать точную дату начала срока лишения, чтобы потом не было споров при возврате прав. Это поможет обезопаситься. Хотите, подготовлю?