Есть ли варианты отсудить часть квартиры и доказать, что она куплена на деньги матери?

Всё упирается в доказательства.
Платёжки/выписки с назначением платежа («на покупку квартиры» — идеально).
Переписку в мессенджерах, e‑mail, СМС, где обсуждались деньги, доля, право проживания.
Свидетельские показания (родственники, знакомые, риелтор).
Договор купли-продажи квартиры, квитанции об оплате, если вы участвовали.
Любые чеки на ремонт/мебель, оплаченные вами.
Медицинские документы, подтверждающие необходимость проживания (если будете просить право пользования).
Варианты решения ситуации:
1. Признать за матерью долю в квартире (если удастся доказать, что деньги давались именно на покупку общей квартиры/доли).
2. Взыскать деньги обратно как заём (ст. 807–808 ГК РФ) или неосновательное обогащение (ст. 1102 ГК РФ).
3. Если долю вернуть сложно — закрепить право проживания через суд (ст. 31 ЖК РФ) или оформить договор найма/пожизненного содержания.

В иске сразу формулируйте несколько требований альтернативно:

признать право собственности на долю;
при отказе — взыскать сумму неосновательного обогащения/займа;
обеспечить иск (наложить арест на квартиру).
Обеспечительные меры (арест, запрет регистрационных действий) подавайте вместе с иском, чтобы сын не продал квартиру.