Вадим, добрый день.
нужно ли становиться на воинский учет,
Да, нужно.
По общему правилу ст. 8 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе»
2. Воинский учет граждан, за исключением граждан, указанных в пункте 3 настоящей статьи, осуществляется военными комиссариатами по месту их жительства, а граждан, прибывших на место пребывания на срок более трех месяцев или проходящих альтернативную гражданскую службу, — по месту их пребывания.
Вы зарегистрировались по месту пребывания сроком более 3 месяцев.
Если Вы прибывали на меньший срок, то в силу ст. 5 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» то регистрация по месту пребывания Вам не требовалось.
На этот счет в постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 указывалось
9. Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок более чем 90 дней, обязаны до истечения указанного срока обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов
И поскольку «временную» регистрацию Вы оформили — то указанное основание является достаточным для постановки Вас на воинский учет.