Спонтанно решили ехать в Абхазию, не будет ли проблем на границе?

Месяц назад я вышла замуж, фамилию не поменяла, госуслуги сказали, что на это есть 90 дней.

 Все верно.

При перемене имени (фамилии) в случае вступления в брак — у Вас есть 90 дней на обмен паспорта.

Срок определен в постановлении Правительства РФ от 23.12.2023 N 2267 «Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца и описания бланка паспорта гражданина Российской Федерации»

25. Документы и личные фотографии для выдачи (замены) паспорта должны быть сданы гражданином Российской Федерации не позднее 90 календарных дней после наступления обстоятельств, указанных в подпункте «а» пункта 19 и подпунктах «а» — «в» пункта 22 настоящего Положения.

Таким образом, ваш паспорт является еще действующим.

Поэтому при пересечении границы с Абхазией по внутреннему паспорту гражданина РФ у Вас проблем с выездом не возникает.

Паспорт у Вас является действительным 
.

И условие, установленное ст. 6 ФЗ  от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию».

Пересечение границы допускается на основании действительным   паспорта.