Здравствуйте!
Очень жизненная ситуация, и вполне понятно ваше волнение. Действительно, наличие штампа иностранного государства (в данном случае – Беларуси) на российском свидетельстве о рождении может вызвать вопросы у миграционной службы, поскольку это может быть воспринято как признак недействительности документа или его порчи. Поэтому требование предоставить дубликат — стандартная практика.
При этом, дубликат свидетельства можно получить в органе ЗАГС по месту регистрации рождения ребёнка или в любом другом ЗАГСе через запрос. Обычно процедура занимает от нескольких дней до пары недель. При этом старое свидетельство можно оставить себе, но в официальные инстанции (включая миграционный центр) уже предоставляется только дубликат без штампов.
Что касается детского сада, поликлиники и других учреждений — достаточно просто сообщить им, что вы получаете дубликат, и потом заменить документ в их архивах. Никаких санкций или проблем из-за этого не возникнет — это обычная техническая замена. Как правило, достаточно принести копию нового свидетельства и написать заявление на замену данных.
Не переживайте — такие ситуации нередки, и они решаемы. Главное — действовать спокойно и последовательно.
С наилучшими пожеланиями, Хабас Феликсович.