Здравствуйте!
Да, ситуация понятная и, увы, довольно типичная. Когда военный билет или справка о его неполучении (вкладыш, если не служили) была оформлена в другом военкомате, текущий по месту жительства не имеет права выдать дубликат или справку от себя — всё должно идти через тот военкомат, где оформлялся основной документ.
У вас есть два варианта. Первый — направить официальный письменный запрос в тот военкомат, где вы получали военный билет или где стояли на учёте. Это можно сделать лично, либо через МФЦ, либо заказным письмом с уведомлением. В запросе укажите ФИО, дату рождения, адрес, суть просьбы — предоставить копию вкладыша или справку, подтверждающую факт неслужбы.
Второй вариант — попросить ваш текущий военкомат сделать межведомственный запрос от своего имени (они имеют на это право), но на практике они не всегда идут навстречу. Можете вежливо, но настойчиво попросить оформить такой запрос — иногда помогает.
Понимаю, что ситуация затянутая и не самая приятная, особенно когда всё оплачено и сроки поджимают. Если нужно, могу помочь с текстом запроса.
С наилучшими пожеланиями,
Хабас Феликсович.