Здравствуйте!
Ситуация, в которой Вы оказались, требует внимательного подхода, особенно в интересах ребёнка.
Во-первых, если квартира действительно находится в залоге у банка (ипотека), банк вправе требовать не регистрацию новых лиц, а наоборот — может препятствовать регистрации, если она нарушает условия договора ипотеки. Но требовать выписки уже зарегистрированного лица — особенно несовершеннолетнего — банк не может напрямую. Однако, если жильё будет продаваться за долги или обращаться взыскание, тогда действительно суд может встать на сторону банка и разрешить снятие с регистрационного учёта (выписку), в том числе и несовершеннолетнего. Это делается исключительно по решению суда.
Теперь по поводу регистрации у бывшей жены. Если она зарегистрирована в квартире, где проживает с сыном, и у неё есть право пользования, то она вправе подать заявление о регистрации сына по месту своего жительства. Несовершеннолетние дети регистрируются без согласия других проживающих, если один из родителей имеет регистрацию в этом жилье. Но есть нюанс: если квартира не принадлежит бывшей жене, а, например, её матери, то потребуется согласие собственника на регистрацию сына.
Вы правы, что не хотите регистрировать сына у себя — это Ваше законное право, тем более, что доля у Вас только одна, и у Вас уже есть совместное проживание с матерью.
Что касается учёбы в московской школе — регистрация всё же имеет значение, особенно при зачислении в школу по месту жительства. Однако многие школы идут навстречу, если ребёнок реально проживает по определённому адресу. В таком случае возможно оформление временной регистрации (по месту пребывания), которую можно сделать по согласию одного из собственников жилья. Она действует от 6 месяцев до 5 лет, и может помочь с документами для школы. В крайнем случае, если невозможно оформить временную регистрацию у бывшей жены или у Вас, можно временно прописать его у кого-то из знакомых, кто согласен помочь — лишь бы это было безопасно и законно.
Сейчас самое важное — обеспечить ребёнку стабильность, возможность учиться и жить в спокойной обстановке. Он уже сделал непростой шаг, уйдя от матери, и Ваша поддержка крайне ценна.
С наилучшими пожеланиями,
Хабас Феликсович.