Собственник квартиры моя мать, я прописана вместе с ней, но не проживаю с ней, после её смерти я являюсь автоматически собственником этой квартиры, как единственная дочь?

Нет, автоматического получения права собственности после смерти матери в вашем случае нет. Прописка в квартире не дает автоматического права наследования, даже если вы единственная дочь. Наследуется квартира по закону или по завещанию.
Почему не автоматически?
Наследование по закону:
При отсутствии завещания имущество наследуется родственниками в определенной очередности. Вам нужно будет обратиться к нотариусу для открытия наследственного дела и подтверждения вашего права на наследование.  
Наследование по завещанию:
Если у вашей матери было завещание, в нем может быть указано, кому достанется квартира, и вы не обязательно будете единственным наследником.  
Прописка:
Прописка является одним из доказательств, подтверждающих ваше право на наследование, но не гарантирует автоматическое получение наследства.  
Другие наследники:
Если у вашей матери есть другие наследники (например, муж или другие родственники), им также будет необходимо обратиться к нотариусу, и они могут претендовать на свою долю в наследстве.  
Необходимо подтвердить право на наследование:
Вам необходимо обратиться к нотариусу, подтвердить свое родство с умершей и предоставить все необходимые документы для наследования.  
Что нужно делать:
1. Обратиться к нотариусу:
После смерти матери нужно обратиться к нотариусу по месту открытия наследства (где находится квартира).  
2. Подать заявление о принятии наследства:
Нотариус оформит наследственное дело и вам нужно будет подать заявление о принятии наследства.  
3. Предоставить документы:
Вам потребуется предоставить нотариусу свидетельство о смерти матери, свидетельство о рождении (подтверждение родства), документы на квартиру и другие необходимые документы.  
4. Доказать право на наследование:
Если будут другие наследники, возможно, потребуется доказывать свое право на наследование (например, доказательства ухода за матерью).