Здравствуйте, Елена!
Наследники отвечают по долгам наследодателя в пределах стоимости унаследованного имущества. Если наследства нет, и никто не вступает в наследство, то долги остаются не погашенными, и кредитор (банк) не имеет права требовать их погашения с лиц, не являющихся наследниками.
Общая прописка не делает вас наследниками и не возлагает на вас обязательства по долгам.
Если ваши дети несовершеннолетние, банк может попытаться возложить на вас ответственность как на законного представителя детей. Однако, опять же, это возможно только в случае, если дети являются наследниками.
Если же ваши дети — несовершеннолетние, они имеют право на обязательную долю при наследовании.
В соответствии с ч.4 ст. 1157 ГК РФ
Отказ от обязательной доли от имени несовершеннолетнего или недееспособного наследника возможен только с предварительного разрешения органа опеки и попечительства.