Как доказать в суде, что бывший муж не вложил ничего при покупке этой квартиры в браке?

можно ли его лишить доли в квартире?

Здравствуйте, Татьяна!

Нет, отсудить не получится т.к. собственность в  РФ неприкосновенна и никто не может быть произвольно лишён своего имущества, можно лишь получить это имущество по любой гражданско-правовой сделке.

А также по соглашению с бывшим мужем, он может переоформить свою долю в счёт уплаты алиментов.

Если плательщик алиментов и лицо имеющее право на получение алиментов, договорятся, то они имеют право заключить соглашение об уплате алиментов.

В добровольном оформлении взаимных прав и обязанностей есть очевидные плюсы по сравнению с взысканием алиментов в судебном порядке. Так, в статье 104 Семейного кодекса РФ перечислено несколько способов уплаты алиментов: они могут выплачиваться периодически или единовременно, перечислением денежных средств или путём предоставления имущества, возможно сочетание указанных способов, то есть плательщик и получатель вправе сами вырабатывать взаимоприемлемые условия.

Особенно важна возможность уплаты алиментов предоставлением имущества. Например, при наличии долевой собственности родителей и детей на жилое помещение родитель, обязанный платить алименты, вправе оформить в собственность ребёнку свою долю, в счёт причитающихся ребёнку алиментов. Или при выезде родителя за границу на постоянное место жительства он вправе передать своё имущество в собственность ребёнку, в счёт алиментов. 

Свобода договора ограничивается одним условием: размер алиментов на несовершеннолетних детей, выплачиваемых по соглашению, не может быть меньше размера алиментов, которые они получали бы по решению суда.

Заключается соглашение в письменном виде, и согласно требованию ст.100 СК РФ подлежит обязательному нотариальному удостоверению. При соблюдении этих требований соглашение имеет силу исполнительного листа, то есть может исполняться не только добровольно, но и принудительно, через службу судебных приставов-исполнителей.