Но не хватает сертификата об экзамене

Здравствуйте!
Понимаю вашу тревогу — ситуация действительно нервная, но постараемся разобраться спокойно.

Если у вашего мужа истекает регистрация (предположу, что временная регистрация по месту пребывания), а документы на ВНЖ ещё не поданы из-за отсутствия сертификата о знании языка, то два дня просрочки могут привести к административной ответственности по ст. 18.8 КоАП РФ — за проживание без документов, подтверждающих право пребывания. Это обычно штраф от 2 000 до 5 000 рублей, в некоторых случаях с возможной депортацией, но при краткосрочной просрочке депортация крайне редка.

Что можно сделать:
Если есть возможность, пусть он в понедельник подаст документы на ВНЖ без сертификата, приложив письменное объяснение, что он записан на экзамен и сертификат получит во вторник. Некоторые миграционные отделения идут навстречу в таких случаях и просят просто донести документ.

Если подать так нельзя, то важно в день окончания регистрации — 13 апреля:

Либо продлить её, если есть такая возможность;
Либо выехать из России (даже на короткий срок — например, в Беларусь), а затем въехать снова — это «обнуляет» срок пребывания (если он по визе не ограничен, а по безвизу — тогда осторожно);
Либо оформить ходатайство о восстановлении пропущенного срока подачи документов (если будут уважительные причины).
Главное — не затягивать. Два дня — это ещё не критично, особенно если всё честно и понятно. В случае, если будет составлен протокол — на него можно подать ходатайство о смягчении наказания, приложив документы и объяснения.

Вы не одни в этом — очень много людей сталкиваются с подобной ситуацией. Всё решаемо, особенно если действовать спокойно и без паники.

С наилучшими пожеланиями,
Хабас Феликсович.