Здравствуйте,
Действительно, так как ребенок родится в Азербайджане, то по рождению получит гражданство Азербайджана.
При этом Вы можете в Консульстве РФ в Азербайджана оформить ребенку гражданство РФ в силу ст 16 ФЗ «О гражданстве Российской Федерации» от 28.04.2023 N 138-ФЗ
3) имеют хотя бы одного родителя (усыновителя), являющегося гражданином Российской Федерации и проживающего в Российской Федерации;
Перечень документов можете посмотреть на сайте Консульства РФ в Азербайджане в разделе прием в гражданство детей
https://azerbaijan.mid.ru/ru/consular-services/voprosy_grazhdanstva/
В Консульстве же потом получаете загранпаспорт РФ ребенку, затем уже ехать в РФ
Либо же Вы оформляете ребенку загранпаспорт Азербайджана, он вылетает в Азербайджан как иностранный гражданин, Вы его ставите на миграционный учёт на 90 дней и подаёте документы на гражданство РФ в МВД по вопросам миграции
Если за 90 дней не успеете подать, Вы можете продлить ему миграционный учёт до года так как Вы гражданка РФ с постоянным местом жительства в РФ в силу ст 5 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» от 25.07.2002 N 115-ФЗ
10. Срок временного пребывания в Российской Федерации иностранного гражданина, прибывшего в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, и являющегося членом семьи гражданина Российской Федерации или иностранного гражданина, постоянно проживающего на территории Российской Федерации, имеющего место жительства в Российской Федерации, продлевается на срок до одного года с даты его въезда в Российскую Федерацию. Указанный срок временного пребывания может быть неоднократно продлен, но не более чем на один год для каждого такого продления.
И за это время подать документы на гражданство РФ
Вы можете оформить получение гражданства РФ ребенку в порядке приема в Посольстве РФ в Азербайджане.
Подробные разъяснения также есть на сайте Посольства.
https://azerbaijan.mid.ru/ru/consular-services/voprosy_grazhdanstva/
Также согласно ст. 5 Федерального закона «Консульский устав Российской Федерации» от 05.07.2010 N 154-ФЗ
Приме документов также осуществляется согласно ст. 21 Федерального закона от 05.07.2010 N 154-ФЗ «Консульский устав Российской Федерации», и в соответствии со ст. 30 Федерального закона от 28.04.2023 N 138-ФЗ «О гражданстве Российской Федерации»