Можем ли мы как-нибудь поставить машину на учёт?

В вашей ситуации есть несколько возможных путей решения:

1. Попробовать восстановить недостающий договор
Если у вас есть хотя бы контакт продавца, попробуйте:

Связаться с ним и потребовать предоставить вам правильный договор. Возможно, он есть у него в документах.
Если контакт с продавцом утерян, можно обратиться в ГИБДД с запросом:

Уточнить, на основании какого договора автомобиль снят с учёта.
Узнать данные предыдущего собственника и попытаться выйти с ним на связь.
2. Оформить автомобиль через суд
Если восстановить договор не удаётся, можно подать в суд исковое заявление о признании права собственности.

Суд может признать ваш договор действительным, если:

Есть доказательства передачи денег (например, расписка, банковский перевод, переписка).
Автомобиль физически у вас.
Нет споров с предыдущими собственниками.
После положительного решения суда вы сможете поставить авто на учёт в ГИБДД.
3. Вернуть автомобиль продавцу и требовать возврат денег
Если доказать право собственности не получится, можно:

Попробовать найти продавца и потребовать возврата денег за недействительную сделку.
Если продавец скрывается, можно подать заявление в полицию по статье 159 УК РФ (мошенничество).
4. Проверить возможность регистрации через нотариуса
В некоторых случаях можно попробовать оформить нотариальное подтверждение цепочки перехода прав (если предыдущий владелец найден и согласен).

Итог
Если удастся найти предыдущего владельца – восстановите договор.
Если нет – подавайте иск в суд о признании права собственности.
В крайнем случае – требуйте возврата денег через полицию.
Если нужна помощь в составлении документов, могу помочь.

Буду благодарен за положительный отзыв!