Добрый день! Договор найма жилого помещения должен быть заключен в письменной форме — ст.674 ГК РФ.
Соответственно, предупредить от расторжении договора также в письменной форме наниматель обязан за три месяца до окончания срока действия договора -
ГК РФ Статья 687. Расторжение договора найма жилого помещения
1. Наниматель жилого помещения вправе с согласия других граждан, постоянно проживающих с ним, в любое время расторгнуть договор найма с письменным предупреждением наймодателя за три месяца.
теперь требует от меня возврат денег за не прожитые дни, должна ли я возвращать деньги квартиросъемщику?
Вы можете деньги не возвращать. Однако, а нанимателя есть право обращения в суд. Но так как нет письменная форма договора найма жилого помещения не соблюдена, то доказать, что наниматель съезжает раньше окончания срока договора будет сложно, если нет никаких письменных доказательств ( например, переписки о сроках и условиях договора).