Каким образом его можно зарегистрировать в ГАИ, на моего отца или на меня

Здравствуйте! Необходимо пройти процедуру подтверждения права собственности и соответствия транспортного средства требованиям законодательства. Нужна документы о праве собственности. Если никаких документов нет, необходимо обратиться в суд для установления факта владения прицепом.

Для начало нужно обращаться в ГИБДД.

Постановление Правительства РФ от 21.12.2019 N 1764  «О государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел.

4. Регистрация транспортных средств производится любым регистрационным подразделением по месту обращения владельца транспортного средства вне зависимости от места регистрации физического лица, индивидуального предпринимателя или места нахождения юридического лица, являющихся владельцами транспортных средств.

Так как документов на прицеп нет, потребуется провести его идентификацию. В отделение ГИБДД подается заявление, где осмотрят прицеп и проверят наличие заводских номеров и табличек.
Если номера отсутствуют или повреждены, потребуется экспертиза в специализированной лаборатории для подтверждения заводского происхождения прицепа. Если прицеп заводского изготовления, а его происхождение подтверждено, ГИБДД может выдать на него новый ПТС. Если прицеп самодельный или не удается подтвердить его заводское происхождение, потребуется получение заключения от сертифицированной организации о его безопасности. Если ГИБДД отказывает в регистрации из-за отсутствия документов, нужно будет обратиться в суд для установления права собственности на прицеп. Решение суда будет основанием для выдачи новых документов. 

Если в дальнейшем хотите зарегистрировать на себя, потребуется договор купли-продажи между вами.