Здравствуйте, Алтай,
Это делается в судебном порядке.
Согласно ст. 69 СК РФ:
Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
— уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
— отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;
— злоупотребляют своими родительскими правами;
— жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
— являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
— совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/6af1956e4267ebdc87f7ccf3381d57e47940f49e/
Для Вашей ситуации подходит основание — уклонение от выполнения обязанностей родителя.
В п. 16 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 14.11.2017 N 44 «О практике применения судами законодательства при разрешении споров, связанных с защитой прав и законных интересов ребенка при непосредственной угрозе его жизни или здоровью, а также при ограничении или лишении родительских прав» даны следующие разъяснения:
Уклонение родителей от выполнения своих обязанностей по воспитанию детей может выражаться в отсутствии заботы об их здоровье, о физическом, психическом, духовном и нравственном развитии, обучении.
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_282678/c3f5d2b1d2c47e714ee5350124eb92e1207f7092/#dst100049
Таким образом, в суде предстоит доказать, что со стороны матери — отсутствует забота о здоровье, о физическом, психическом, духовном и нравственном развитии ребенка.
Вот как Верховный суд трактует неисполнение обязанностей родителя -
Уклонение от выполнения обязанностей родителей, выражающееся в систематическом неисполнении или ненадлежащем исполнении обязанностей по воспитанию несовершеннолетнего при наличии объективной возможности их выполнения, влечет за собой лишение родительских прав (Определение Судебной коллегии по гражданским делам Верховного Суда РФ от 19 июня 2012 г. N 38-КГ12-1):
https://www.vsrf.ru/files/14124/
То есть, должно быть длительное неисполнение (бездействие) — единичных случае не достаточно.
И такое неисполнение надо в суде доказать. Это можно сделать посредством показаний свидетелей, вещественными доказательствами (видео), актами проверки от органов опеки и попечительства, прокуратуры.
Если доказательств недостаточно — рекомендую обратиться в прокуратуру с жалобой как на мать, так и на ПДН, которое бездействует.