Может ли внучка наследовать квартиру, если отец не подал заявление на наследство?

Вам следует  в судебном порядке  установить отцовство  ребенку, а затем   претендовать на наследство .

СК РФ Статья 49. Установление отцовства в судебном порядке
 

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Однако, следует понимать,  что, если младший сын ( её не официальный отец) не подаст документы на вступление в наследство, то  это не  является основанием для перехода  части наследства  к  его  ребенку .

Сроки принятия наследства указаны в ст. 1154 ГК РФ. Общий срок – 6 месяцев со дня открытия наследства, т.е. со дня смерти наследодателя.