Законна ли прописка пасынка в неприватизированной квартире и можно ли его выписать

Ваш вопрос касается прав на неприватизированную квартиру после смерти вашего отца, а также законности прописки его пасынка и его права на приватизацию.

Ключевые моменты:
Неприватизированная квартира:

Неприватизированная квартира является муниципальной собственностью, а не личной собственностью вашего отца. Это значит, что, пока квартира не приватизирована, она находится в собственности города или государства, и все зарегистрированные в ней люди являются нанимателями.
Прописка пасынка:

Прописка (регистрация) человека в квартире возможна с согласия всех зарегистрированных жильцов и нанимателя, если это установлено договором социального найма. Если ваш отец был основным нанимателем квартиры, он имел право прописать жену и её сына (пасынка).
Если прописка была произведена законным образом, то его пасынок имел право на проживание в квартире, пока договор найма не расторгнут.
Право на проживание после смерти нанимателя:

После смерти вашего отца (основного нанимателя), права на проживание переходят другим зарегистрированным жильцам, если они были там прописаны и продолжают фактически проживать. Это касается как вас, так и пасынка вашего отца.
Таким образом, если пасынок фактически проживал в квартире до смерти вашего отца и был там прописан, то он имеет право на дальнейшее проживание.
Право на приватизацию:

Приватизация возможна только для тех, кто прописан в квартире на момент подачи заявления на приватизацию. Если пасынок вашего отца прописан, он также имеет право участвовать в приватизации.
Приватизация делится на всех зарегистрированных жильцов, если они подают заявление совместно. Если вы и пасынок зарегистрированы в квартире, то каждый из вас имеет право на равную долю в приватизации (если не будет другого соглашения).
Как выселить пасынка?:

Выселить пасынка можно только через суд, если он не проживает фактически в квартире или нарушает условия проживания.
Если он фактически проживает в квартире и был прописан там на законных основаниях, его будет сложно выселить, поскольку он имеет равные права с другими зарегистрированными жильцами.
Возможные действия:
Проверка законности прописки:

Если вы сомневаетесь в законности его прописки, вы можете запросить копию договора социального найма и историю регистрации в квартире через паспортный стол или МФЦ. Если прописка была произведена с нарушениями, это может быть основанием для его выписки.
Инициировать приватизацию:

Если вы хотите приватизировать квартиру, подайте заявление на приватизацию. В этом случае все прописанные жильцы, включая пасынка, будут иметь право на долю в квартире.
Выселение через суд:

Если пасынок не проживает в квартире длительное время, вы можете подать иск в суд о его выселении и выписке. Для этого вам нужно будет доказать, что он фактически не проживает в квартире.
Итог:
Пасынок вашего отца имел законное право на прописку, если она была произведена с согласия нанимателя (вашего отца) и других жильцов.
Он имеет право на проживание и может участвовать в приватизации, если прописан в квартире.
Выселение и выписка возможны через суд, если будет доказано, что он фактически не проживает в квартире или прописан незаконно.
Рекомендуется проконсультироваться с юристом по вопросам выселения и приватизации для конкретных шагов в вашей ситуации.

В соответствии со ст. 70 ЖК РФ

1.Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя — других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.

2. Вселение в жилое помещение граждан в качестве членов семьи нанимателя влечет за собой изменение соответствующего договора социального найма жилого помещения в части необходимости указания в данном договоре нового члена семьи нанимателя.

Т.е. если Ваш отец являлся нанимателем квартиры, он имел право вселить в нее свою жену и ее ребенка с согласия остальных зарегистрированных в квартире лиц и согласия наймодателя, с последующим внесением данных лиц в договор соц.найма квартиры в качестве членов своей семьи.

Согласно п. 2 ст. 868 ГК РФ

В случае смерти нанимателя или его выбытия из жилого помещения договор продолжает действовать на тех же условиях, а нанимателем становится один из граждан, постоянно проживающих с прежним нанимателем, по общему согласию между ними. Если такое согласие не достигнуто, все граждане, постоянно проживающие в жилом помещении, становятся сонанимателями.

Зарегистрированные в квартире, занимаемой по договору соц.найма лица имеют право на ее приватизацию при условии, если ранее они в приватизации не принимали участия.