Татьяна, добрый день.
Неполное рабочее время устанавливается либо по просьбе работника, либо по соглашению сторон (ст. 93 ТК РФ). То есть понуждать Вас заключить соглашение о неполном рабочем времени он не имеет права.
Оплата труда у нас 50/50 с премией. Могут ли сократить премию? Какие основания?
Необходимо исходить из условий положения о премировании (условий трудового договора, которым предусмотрено премирование).
Если положение о премировании не содержит информацию о том, когда премия выплачивается или не выплачивается, то скорее всего есть риск того, что работодатель может злоупотреблять этим.
Если положение о премировании содержит подробные условия назначения премии и Вы их соблюдаете, то лишать Вас премии работодатель не имеет права.
Также, не может использоваться в качестве дисциплинарного взыскания — депремирования.