Можно ли на них подать в суд и потребовать оплаты заказа?

Добрый день. 

Какого содержания переписка? ЕСть подтверждение заказа на производство мебели?

Оговорена цена услуги

Все это может быть подтверждением факта заявки на услугу

Вы можете обратиться к заказчику с письменной претензией на выплату не оплаченной за заказ суммы.

Если заказчик не отреагирует, тогда обращайтесь в суд с исковым заявлением.

Согласно ст. 761 Гражданского кодекса РФ

1. Заказчик обязан оплатить оказанные ему услуги в сроки и в порядке, которые указаны в договоре возмездного оказания услуг.
2. В случае невозможности исполнения, возникшей по вине заказчика, услуги подлежат оплате в полном объеме, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.
3. В случае, когда невозможность исполнения возникла по обстоятельствам, за которые ни одна из сторон не отвечает, заказчик возмещает исполнителю фактически понесенные им расходы, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.

Согласно Главе 37 Гражданского кодекса обязательная письменная форма для договора подряда не предусмотрена.

По имеющимся вопросам пишите в чат.