Может ли бывшая жена подать на алименты и можно ли оспорить её требование?

Нет, к сожалению это ее право, и его не оспорить. Можете просить уменьшить размер алиментов учитывая что половину времени сын проводит с вами. Но во всех случаях алименты взыскиваются с даты подачи заявления в суд. За прошлое время суд не взыщет. 

 Статья 83. Взыскание алиментов на несовершеннолетних детей в твердой денежной сумме

1. При отсутствии соглашения родителей об уплате алиментов на несовершеннолетних детей и в случаях, если родитель, обязанный уплачивать алименты, имеет нерегулярный, меняющийся заработок и (или) иной доход, либо если этот родитель получает заработок и (или) иной доход полностью или частично в натуре или в иностранной валюте, либо если у него отсутствует заработок и (или) иной доход, а также в других случаях, если взыскание алиментов в долевом отношении к заработку и (или) иному доходу родителя невозможно, затруднительно или существенно нарушает интересы одной из сторон, суд вправе определить размер алиментов, взыскиваемых ежемесячно, в твердой денежной сумме или одновременно в долях (в соответствии со статьей 81 настоящего Кодекса) и в твердой денежной сумме.

Добрый день! Да, такое право есть у матери ребенка, тем более, что ребенок проживает с ней:

ч.2 ст.80 СК РФ:

2. В случае, если родители не предоставляют содержание своим несовершеннолетним детям, средства на содержание несовершеннолетних детей (алименты) взыскиваются с родителей в судебном порядке.https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/939297ca809b2aa9866a81dbe3759fe66c596075/

По обоюдному согласию изначально договорились что 5 летний сын остается у нее и она не подает на алименты

 Это соглашение было оформлено?