Может ли он перевестись по контракту и в другую часть?

Добрый день.

Вы не лишены права обратиться к командованию с таким рапортом о переводе.

Как указано в ст. 15 Положения о порядке прохождения военной службы, согласно которой

1. Военнослужащий может быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую (в том числе находящуюся в другой местности) в пределах Вооруженных Сил Российской Федерации (других войск, воинских формирований или органов, воинских подразделений федеральной противопожарной службы) в следующих случаях:
д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

В рапорте укажете все обстоятельства по которым просите  перевести, однако тут момент, что это исключительно их решение и могут в переводе отказать, то есть именно обязанности Вас перевести нет, все на усмотрение.